Rekursive Rache - Eine mathematische Weihnachtsgeschichte

[V.K.B.]

Ursprünglich für den DSFO-Adventskalender 2023 im Smalltalk-Bereich geschrieben, aber ich erdreiste mich mal, die Geschichte auch hier als separates Werk einzustellen, damit sie auch in meinem Profil erscheint und auffindbar ist. Ich hoffe, das ist okay, aber ich habe da einfach zu viel Zeit und Mühe reingesteckt (mindestens so viel wie in einen Zehntausender-Wettbewerbstext), als dass ich sie nur als Antwort-Post im Smalltalk veröffentlichen möchte, wo sie in keiner Suche erscheint und auch über das Profil nicht aufzufinden ist.




eine mathematische¹ Weihnachtsgeschichte mit dem Haarigen Abdul²

¹Keine Angst, man braucht keine Mathematikkenntnisse, um die Geschichte zu verstehen.

²Der Haarige Abdul (trotz Glatzenträger so genannt, weil sein Lebensmotto ›Jetzt wird’s haarig‹ lautet), ein zynischer Auftragskiller und Söldner, ist ein fiktional-fiktionaler Actionserienheld in meiner Großvaterreihe, außerdem der Protagonist in meiner Kurzgeschichte ›High Ground‹, die in der Anthologie ›Vollkommenheit‹ des Hybrid-Verlags erschienen ist. Aber auch die muss man nicht kennen, um die Geschichte zu verstehen.
›High Ground‹ war meine erste veröffentlichte Geschichte und zu Weihnachten werde ich immer nostalgisch, daher wollte ich dem guten (?) Abdul jetzt nochmal eine Geschichte gönnen.



Endlich bin ich wieder zu Hause, oder genauer gesagt auf meinem Landsitz, ist ja Weihnachten und dieser Trubel in der Stadt geht mir einfach komplett auf die Eier. Fest der Liebe, so ein Bullshit, wieso feiern wir das eigentlich immer noch? Wen interessiert schon Nächstenliebe in einem Beruf, bei dem ein Menschenleben gerade so viel wert ist, wie mir jemand für seine Beendigung zahlt? Die Erde ist auch seit über 2000 Jahren Geschichte, also nix mit Sonnenwende hier auf Dapa-3, und dass da mal so ein komischer Prophet geboren wurde, interessiert heute auch keinen mehr. Okay, meinen Nachbarn vielleicht, der ist Priester einer christlichen Gemeinde. Unglaublich, dass diese ansteckende Geisteskrankheit sich so lange halten konnte. Um mich nicht auch mit diesem memetischen Weihnachtsvirus zu infizieren, ziehe ich mich dann immer hier aufs Land zurück. Außerdem ist hier mein Hauptwaffenlager, und die müssen ja alle mal gepflegt werden.
Ich hole mein erstes Scharfschützengewehr aus dem Keller, das würde schon Rost ansetzen, wäre es nicht aus Keramik, um nicht von Metalldetektoren erkannt zu werden. Ich hatte es von meinem Vater zum sechsten Geburtstag bekommen und benutze es immer noch gelegentlich. Man darf ja seine Wurzeln nicht vergessen.
Nach gelungener Arbeit lade ich es durch, setze mich gemütlich in den Schaukelstuhl auf der Veranda und knalle ein paar Vögel beim Futterhaus meines Nachbarn ab. Die zerspritzen immer so schön bunt, das entspannt.
Moment, was sehe ich da durchs Zielfernrohr? Hat der das Vogelhaus mit einem alten Fahrradschlauch zusammengezimmert? Wo kriegt man nur so praktische Bauanleitungen her?

Och nö, jetzt kommt dieser Typ aus dem Haus zu mir rüber, will der Ärger machen? Kurz überlege ich, ob ich einfach wie bei den Vögeln verfahren sollte, doch ich kann mir ja erst mal anhören, was er zu meckern hat, ist ja Weihnachten, da kann man jemandem ausnahmsweise ein bisschen Redezeit gönnen, bevor man abdrückt. Zu meiner Überraschung beschwert er sich aber gar nicht über die Ruhestörung, sondern wünscht mir erst mal frohe Weihnachten. »Sie müssen sehr einsam sein«, bemerkt er dann, »wenn Sie am Heiligen Abend nichts Besseres zu tun haben, als auf Vogeljagd zu gehen.«
»Mir geht es gut, keine Sorge«, antworte ich. »Was kann ich für Sie tun? Gibt es irgendwelche Kirchenkritiker, die Sie loswerden wollen? Zu Weihnachten kann ich Ihnen da einen Sonderpreis machen.«
»Nein danke.« Er lacht und schüttelt den Kopf. »Aber ich wollte Sie fragen, ob Sie vielleicht Lust hätten, nachher zum Essen rüberzukommen. Ich hab ’nen riesigen Gänsebraten im Ofen, den hab ich geschenkt bekommen, kriege den aber niemals alleine auf.«
Der muss auch ein sehr einsamer Mensch sein, wenn er dafür Nachbarn einlädt, die er nur vom Sehen kennt. Aber warum eigentlich nicht, um Essen hab ich mir noch gar keine Gedanken gemacht und dann kann ich mir den Flug zu Dino-Burgers sparen. »Sehr gerne, danke für die Einladung. Bis heute Abend dann.«

Oh verdammt, es ist Weihnachten, da muss ich ja ein Geschenk mitnehmen, fällt mir ein, als ich wieder im Haus bin und mich ausgehfertig mache. Schnell packe ich eine der Schnellfeuermaschinenpistolen ein, die ich sowieso nie benutze. Sind mir einfach nicht zielgenau genug, aber der kann die bestimmt gut gebrauchen, um beim Gottesdienst für Ruhe und Ordnung zu sorgen, wenn jemand stört. Ich ziehe sogar meinen Anzug an, den ich noch von einem Auftrag aus der vorigen Woche rumliegen habe, da sollte ich bei der Weihnachtsfeier eines Pharma-Konzerns unwiderlegbare Argumente zur Notwendigkeit eines Vorstandswechsels liefern.

Soso, Joseph Fürchtegott heißt mein Nachbar also, verrät mir das Schild an der Türklingel. Sofort überreiche ich ihm das Geschenk, als er mir öffnet. »Hier, frohe Weihnachten, dann müssen Sie Gott nicht mehr fürchten, das hilft auch gegen alte weiße Männer.«
Er packt die Waffe aus, schaut mich zuerst irritiert an, dann bedankt er sich aber doch. Klar, auch wenn er keine Verwendung dafür hat, man kann die ja immer noch im Internet verkaufen und das Geld für wohltätige Zwecke spenden, oder was Priester sonst so mit Waffen tun, keine Ahnung.
»Ich hab jetzt leider kein Geschenk für Sie«, erwidert er, »aber kommen Sie doch rein.«
»Gerne. Und das mit kein Geschenk macht nichts, denn das beste Weihnachtsgeschenk aller Zeiten konnte ich mir vorgestern selbst machen.«
»Interessant, erzählen Sie doch mal«, sagt er dann, als wir beim Essen am Tisch sitzen. »Was haben Sie sich gegönnt?«
»Rache«, antworte ich, und grinse breit. »Die war schon lange überfällig, und endlich bot sich mir eine Gelegenheit, die ich nie für möglich gehalten hätte.«
»Wer auf Rache sinnt, sollte zwei Gräber ausheben«, bemerkt er altklug.
Ich nicke. »Klar, mindestens. Für den Kollateralschaden.«
Ihm fällt die Gabel aus der Hand. »Keine Sorge, das ging diesmal völlig unblutig«, beruhige ich ihn. »Und die Person, an der ich mich gerächt habe, hatte das mehr als verdient. Sie würden mir zustimmen, wenn sie Frau Pottbaros gekannt hätten.«
»Warum sprechen Sie in der Vergangenheit? Haben Sie die Frau ermordet?«
»Hätte ich gerne, aber das war leider nicht mehr möglich. Sie starb schon vor drei Jahren an einem Schlaganfall.«
»Und was hat die Ihnen angetan?«
»Frau Pottbaros war meine Mathelehrerin in der neunten und zehnten Klasse, und die war eine echt miese Sadistin. Die hatte mich total auf dem Kieker und hat mir zwei Jahre lang die Schule zur Hölle gemacht. Sie war phänomenal im Kopfrechnen, das muss man ihr lassen, wohl irgendeine Inselbegabung. Dummerweise hat sie von ihren Schülern das Gleiche verlangt, und sagte immer, Kopfrechnen könnte über Leben und Tod entscheiden. Ständig hat sie mich zum Vorrechnen nach vorne an die Tafel geholt, und mich da gefühlt eine halbe Unterrichtsstunde stehen lassen, wenn ich etwas nicht konnte. Und dann immer dieses ›Nun mach doch, Junge, es steht alles an der Tafel, was du brauchst, du musst es nur ausrechnen, dann darfst du dich wieder setzen.‹ Und ich musste immer die Hände auf dem Rücken verschränkt halten, damit ich die Finger nicht zur Hilfe nehme, wenn ich da wie blöde rumstand und mir vergeblich den Kopf zerbrach. Das hat sie auch nur bei mir gemacht, wohl um mir das Zehnermerken mit Fingern abzugewöhnen. Ich hab mich aber immer gefühlt, als kniete ich zur Hinrichtung mit gefesselten Händen vor einer Wand und warte auf den Genickschuss.«
»Oha, das ist wirklich heftig. Die Frau hatte ganz offenbar ihren Beruf verfehlt.«
»So desu. Aber ich habe es ihr mit gleicher Münze heimgezahlt, mit Zinsen und Zinseszinsen. Das fühlt sich richtig gut an.«
Er schaut mich erstaunt an. »Wie konnten Sie, wenn die schon vor drei Jahren gestorben ist?«
»Oh, das muss eine Fügung des Schicksals gewesen sein.« Genüsslich schenke ich mir ein weiteres Glas Wein ein. »Ich hatte einen total ungewöhnlichen Auftrag. Eine Uni hat mich angeheuert, als Testperson für ein Forschungsprojekt. Die brauchten aber keinen Killer, sondern jemanden, der kein Problem damit hat, wenn’s mal haarig wird. Die wussten nicht mal, ob die Testperson das überleben kann, völliges Neuland und damit saugefährlich, hat sich von denen keiner getraut. Da konnte ich einfach nicht nein sagen.«
»Und um was ging es?«
»Den Prototyp einer Zeitmaschine testen. Die waren zwar sicher, dass das Ding zuverlässig funktioniert, aber nicht, ob eine Zeitreise für einen Menschen überhaupt machbar ist, ohne ein Paradoxon auszulösen und sich damit selbst aus der Existenz zu löschen. Man würde ja mit jedem Atemzug schon kleine Veränderungen erzeugen, die einem später als großer böser Schmetterling in den Arsch beißen könnten.«
»Und … Sie haben tatsächlich eine Zeitreise unternommen? Ohne dass was Schlimmes passiert ist?«
»Jupp. Einen Tag lang war ich vierzig Jahre in der Vergangenheit. Und zufälligerweise genau an jener Uni, wo Frau Pottbaros damals studiert hat. Glück muss man haben!«
Er sieht mich nachdenklich an. »Haben Sie …«
»Nein, ich durfte sie ja nicht töten. Hätte ich das getan, hätte sie mich später als Schüler nicht mehr quälen können, und ich hätte mir damit das Motiv genommen, diesen Mord überhaupt erst zu begehen. Da wäre das fatale Paradoxon garantiert gewesen. Denn wenn man durch seine Handlungen bei einer Zeitreise eine dieser Handlungen selbst unmöglich oder sinnlos macht, löscht einen das Universum einfach aus der Zeitlinie, um nicht in einer logischen Endlosschleife festzuhängen und abzustürzen. So haben es mir die Forscher jedenfalls erklärt. Töten konnte ich sie also nicht, aber ich konnte mich anders rächen. Ihr all diese Demütigungen heimzahlen, solange sie trotzdem noch Lehrerin werden kann. Gibt ja gute Therapeuten. Ich musste dabei nur wie ein zufälliger Irrer rüberkommen, der aus reiner Freude an der Tätigkeit eine sinnlose grausame Tat begeht. Und das konnte ich mir ja leisten, denn ich bin am nächsten Morgen einfach verschwunden und war nicht mehr zur Rechenschaft zu ziehen.«
»Und was um Gottes Willen haben Sie getan?«
»Keine Panik. Nur, was sie verdient hatte. Ich hab sie vor Publikum vorrechnen lassen, unter leicht erschwerten Bedingungen. Ich hatte natürlich eine Waffe dabei, und hab sie einfach als Geisel genommen. Dann bin ich mit ihr in den Campuspark gegangen. Da musste sie sich ausziehen und vor eine Wand knien, ich hab mich bei ihr im Unterricht ja auch immer nackt und schutzlos gefühlt. Und ich hab ihr die Hände auf den Rücken gebunden, damit sie die Finger nicht zur Hilfe nimmt. Die dachte jetzt auch, sie kriegt gleich einen Genickschuss. Den hab ich ihr auch angedroht, wenn sie die Aufgabe nicht lösen kann. Sie wusste ja nicht, dass ich bluffe und sie gar nicht erschießen darf.«
»Was für eine Aufgabe hast du ihr gestellt?«
Oh, wir sind jetzt beim ›du‹? Mir scheint, er hat auch mal solche Lehrer gehabt, die gerne Schüler vorführen, kennt wohl jeder. »Die Situation hat mich inspiriert. War schon Abenddämmerung, als ich sie endlich gefunden hatte, und eine der Parklaternen beschien teilweise die Wand, vor der sie kniete. Sie sollte dann für mich ausrechnen, wie viele Quadratzentimeter der Wand von der Lampe erhellt würden, wenn sie der Erleuchtung nicht im Wege säße. Ich konnte ja per Handy-App Winkel und Strecken messen, und zum Glück war unter unseren Zuschauern, die immer mehr wurden, ein Graffiti-Sprayer, von dem ich mir eine Sprühdose leihen konnte. Ich hab ihr dann alles Nötige an die Wand gesprüht. Dann konnte ich auch mal sagen: »Nun mach doch, Mädel, es steht alles an der Mauer, was du brauchst, du musst es nur ausrechnen, dann darfst du dich wieder anziehen und nach Hause gehen.« Ich krame in der Tasche nach dem Handy. »Ich hab natürlich ein Erinnerungsfoto gemacht. Das kann ich dir aus jobbedingten Richtlinien zum Persönlichkeitsschutz von Zielpersonen allerdings nicht direkt zeigen, sondern nur eine Modellzeichnung des Bildgenerators.« Sicherheitshalber schalte ich aber den ›Not Safe For Puritans‹-Filter der App ein, nicht, dass der Typ mir noch einen Herzinfarkt kriegt. »Hier, schau mal.«  

[Aufgabe im Bild als Bonus für die Mathefreunde, siehe unten]

Staunend betrachtet er das Bild, kommt wohl nicht alle Tage vor, dass ein christlicher Priester ein nacktes Mädchen mit gefesselten Händen bewundern darf. Ob ich ihm den Filter doch ausschalten sollte? Ach was, selber Schuld, wenn er die falsche Religion wählt und ihm solche Anblicke deshalb verborgen bleiben. Bei Gardner wäre das nicht passiert.
»Und – hat sie die Aufgabe gelöst?«, fragt er nach einer Weile.
»Zuerst hat sie Rotz und Wasser geheult, doch als ich immer wieder vor ihren Augen überprüfte, ob die Waffe auch richtig entsichert ist, hat sie es tatsächlich geschafft. Todesangst verleiht wohl keine Flügel, sondern Mathekompetenzen.«
»Und dann?«
»Hab ich sie laufen lassen, eine andere Option hatte ich ja nicht. Ich hab mich auch einfach widerstandslos festnehmen lassen, als die Polizei kam, aber kein Wort ausgesagt, was diese Aktion sollte. Dann konnte ich mich noch in einer Zelle ausschlafen und konsequenzlos wieder im Labor aufwachen. Rausschießen wollte ich mich da nicht, ich durfte ja kein Paradoxon riskieren.« Ich grinse. »Na, was denkst du? War das nicht irgendwie poetische Gerechtigkeit?«
Nachdenklich reibt er sich am Kinn. »Letztendlich hat sie doch über dich triumphiert. Sie konnte deine Aufgabe lösen, was du mit ihren nie geschafft hast.«
»Aber ich musste doch auch eine einfache Aufgabe nehmen. Hätte sie das nicht gekonnt, hätte ich sie nicht erschießen dürfen, und wäre ihr dann als inkonsequenter Spinner im Gedächtnis geblieben, nicht als lebensbedrohlicher Psychopath – und das wäre lange nicht so traumatisch gewesen. Die Demütigungen vor der Klasse hab ich ihr damit trotzdem heimgezahlt, und nebenbei bestimmt noch einem Therapeuten das Einkommen gesichert. Und ich habe unter Einsatz meiner Existenz bewiesen, dass man sich bei Zeitreisen rächen kann, ohne ein Paradoxon auszulösen.«
Er sieht noch nachdenklicher aus. »Sie hat nur dich in der Klasse so fies behandelt?«
»Ja, sagte ich doch schon, die hatte mich voll auf dem Kieker. Keine Ahnung, warum.«
»Nun, du wirst sie wohl an jemanden aus ihrer Studentenzeit erinnert haben. Und ich frage mich gerade, wer sich letztendlich an wem gerächt hat.«






Und hier der Bonus für die Mathefreunde
Na, wer löst Abduls Aufgabe als Erstes? Nochmal die Frage: Wie viele Quadratzentimeter der Wand würde die Lampe erhellen, wenn die Studentin nicht im Wege säße? Die Wand endet links, wo das Bild anfängt, man braucht also im Bild nicht sichtbare Flächen auf der linken Seite nicht zu berücksichtigen. Alle Informationen, die man zum Rechnen braucht, stehen im Bild.

Aber nicht vergessen: mit gefesselten Händen! Muss man natürlich nicht wirklich so machen, aber ohne Taschenrechner, schriftliche Nebenrechnungen oder auch nur Zwischenergebnisse zu notieren oder mit Fingern zu merken.

Es geht also nicht (nur) darum, eine Sohcahtoa/Flächeninhalt-Aufgabe zu lösen, sondern einen geschickten Rechenweg zu finden, wie man das komplett im Kopf hinkriegen kann (wenn man mit den im Bild angegebenen Näherungswerten für die trigonometrischen Funktionen rechnet). Es ist tatsächlich möglich, ohne ein großes Rechengenie zu sein, man muss nur einen geschickten Schritt-für-Schritt Algorithmus finden, den man im Kopf durchgehen kann, ohne sich viele Zwischenergebnisse merken zu müssen. Gesucht ist also nicht nur die Lösung, sondern ein Rechenweg, den so ziemlich jeder im Kopf durchführen kann.

Tipp/Challenge:
Der optimale Rechenweg, oder zumindest der einfachste, den ich gefunden habe, kommt bei allen Rechenschritten mit ganzen natürlichen Zahlen im maximal dreistelligen Bereich aus, und die einzelnen Rechenschritte sollte jeder bessere Viertklässler im Kopf durchführen können (würde aber den Gesamtzusammenhang wahrscheinlich nicht verstehen).


Oh, noch was: Wer sich statt auf eine Matheaufgabe lieber auf ein literaturbezogenes Rätsel stürzen möchte, kann herauszufinden versuchen, warum Frau Pottbaros diesen Namen trägt. ›Obviously a telling name‹ hätte mein früherer Englischlehrer in der Schule gesagt, wobei, ganz so obvious ist es nicht, da muss man schon ein bisschen …
… permutieren.

[wohe]

Na, dann will ich mich mal als Depp outen.
Keine Ahnung, ob die Lösung richtig ist, aber mein Rechenweg ist garantiert nicht gut und überfordert mein Merkvermögen total und der geht so:
Wenn ich mich richtige erinnere (ist 50 Jahre her, meine Mathezeit), ist der tan=Gegenkathete/Ankathete --> 2,48=120*x --> x=2,48*120.
Im rechtwinkligen Dreieck ist x*y/2 die Fläche --> 120*2,48 (x) * 120 (y) / 2
120*120=14400 so weit hat's noch gereicht.
Aber mit 14400*1,24 (aus 2,48/2) kam ich zu unendlich vielen verschiedenen Ergebnissen. Ich glaube, das folgende ist richtig.
14400+2880=17280
17280+576 (allein schon das Abspeichern der 17280 und das gleichzeitige Verdoppeln der 288 ist zu viel für Biertrinkerhirne).
Beim gefühlten millionsten Versuch kam ich jedenfalls auf 17856 Quadratzentimeter.

[HansGlogger]

Vorbemerkung:
Der Anblick gefesselter Frauen törnt mich total ab. Ich habe deshalb das Bild nicht näher angeschaut. Nachdem ich es tat, verstehe ich die Aufgabe und schlage gleich mal eine Lösung vor.

LÖSUNG
Der Lichtschein einer Lampe bildet einen Kegel. Hier offenbar mit einem Winkel von 68° Steht die Lampe senkrecht zur Mauer ist die beleuchtete Fläche ein Kreis, sonst eine Ellipse, was aber auch zu lösen wäre.

Formel für Kreisfläche r² * pi

Wir brauchen das r.
Senkrecht durch den Kegel geschnitten haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke. Der Radius ist die Ankathete. Die Gegenkathete, der Abstand der Mauer von der Lampe, ist 120 cm. Also 2,48 * 120 (oder geteilt?). Das Ergebnis dann hoch 2 und mal pi. Ergebnis
278.096,4864 cm²
meint mein Taschenrechner

Steht die Lampe aber parallel zu Mauer und bestrahlt sie seitlich, wäre anders zu rechnen, dazu bin ich jetzt zu faul.

[V.K.B.]

[Günter Wendt]

Nach Depp 1 (Hans), oute ich mich als Depp Nummer 2.
Wie man sehen kann, ist das Rechteck der Wand NICHT in exakt zwei große Teile aufgeteilt. Es ist also geteilt in einen größeren und einen kleineren Teil. Da die Grenze von Licht und Schatten NICHT durch den geometrischen Mittelpunkt des Rechtecks verläuft, sind es nicht zwei gleich große Teile von Licht und Schatten.

Daher teile ich gedanklich die Fläche des Lichts in zwei geometrische Flächen auf. Ein langes Rechteck und ein Dreieck.

Also ist die Fläche des Lichts
Die Fläche des langen Rechtecks + Fläche des Dreiecks.

[HansGlogger]

Depp 1 gibt nochmals eine kurze Erklärung seines Rechenwegs.

Wand            Lampe
|
|    120 cm
| -------------O
|
|

Der Lichtschein der Lampe bildet einen Kegel mit 68° Neigung der Seitenfläche (nicht in der Skizze), die Wand ist ein Schnitt durch den Kegel. Die Schnittfläche ist ein Kreis, dessen Fläche es zu bestimmen gilt. Wir brauchen dazu den Radius. Der ergibt sich aus tan 68° mal 120 cm.
Dann r² mal pi (hier 3.14).

Gruß Hans

[V.K.B.]

[HansGlogger]

falscher Faden

[Günter Wendt]

[Günter Wendt]

Lösungstheorie 2

Gehen wir idealerweise davon aus, dass die Linie der Hell und Dunkelgrenze exakt durch die Mitte des Rechtecks der Wand verläuft, teilt diese Linie das Wanddreieck in zwei gleiche Teile.
Also wäre dann die Hälfte der Wandfläche beleuchtet, bzw. unbeleuchtet. Wandfläche geteilt durch zwei wäre dann die Lösung.

[wohe]

[Günter Wendt]

Folgendes habe ich mal skizziert

Oben so wie ich es auf der Wand wahrnehme.

Das untere wäre ideal.

Oben wäre es ein unregelmäßiges beleuchtete Rechteck.
Die beleuchtete Fläche ist größer als die unbeleuchtete Fläche.

Unten verliefe die hell und dunkelgrenze durch den Mittelpunkt. Zwei gleiche Flächen.
(Nachtrag 17:40 Uhr:
Also die Fläche der Wand geteilt durch zwei.)


Verliefe die Linie NICHT zur rechten Seite, sondern in gerader Linie zum Boden, wäre es ein rechtwinkliges Dreieck. Aber das nehme ich so nicht so wahr. Weil es zu einfach wäre.

Aber ich kann mich auch täuschen.

Nachtrag
Die Frau ist weg, spielt keine Rolle. Stört nicht mehr…

[V.K.B.]

@Günter: Die Wand geht rechts noch weiter, jenseits des Bildes, deshalb schrieb ich ja, sie endet auf der LINKEN Seite mit dem Bild (und auf der rechten damit nicht). Von daher, ja, es ist ein Dreieck, und das lässt sich immer mit Seite mal senkrecht darauf stehender Höhe mal ½ berechnen (dazu muss es noch nicht einmal rechtwinklig sein). Außerdem schrieb ich doch, dass es sich um eine simple Sohcahtoa-Aufgabe handelt (genau wie wohe es auch verstanden hat). Die Schwierigkeit ist, dass man es im Kopf ausrechnen muss, und einen Rechenweg finden soll, der bis zum Endergebnis mit maximal dreistelligen ganzen natürlichen Zahlen auskommt, so dass es jeder nachrechnen kann, ohne sich lange Zwischenergebnisse merken zu müssen oder komplizierte Rechnungen im Kopf durchzuführen, die einen bei der Durchführung überfordern könnten. Ich bin nämlich selbst überhaupt nicht gut darin, größere Rechenoperationen im Kopf durchzuführen, habe aber ein solides Grundwissen von Zahlentheorie, so dass ich mit einer Menge "Tricks" arbeiten kann, die die Rechnungen viel einfacher machen.

[Günter Wendt]

[Günter Wendt]

Da die Summe aller Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck 180° beträgt, kann man die beiden bekannten Winkel (90+68) addieren.
Das wären 158°.
180 minus 158 = 32
Jetzt habe ich die drei Winkel des Dreiecks.

Höhe links 120

Jetzt ziehe ich gedanklich auf der rechten Seite ebenfalls eine gerade hoch (120) und erhalte, wenn ich gedanklich die linke obere Ecke mit einer Parallele zur unteren Linie mit der rechten oberen Ecke verbinde ein Rechteck.

Wenn ich jetzt die Fläche dieses Rechtecks habe und durch 2 dividiere, habe ich die Fläche des Dreiecks.

Was ich also berechnen muss ist die Länge der unteren Geraden (Kathete/Gegenkathete).

Dann habe ich Länge und Breite des Rechtecks. Dann dividiere ich durch Zwei.

Die Berechnung der Gegenkathete kann man vereinfachen, wenn du keine exakten Ergebnisse forderst, indem du statt 68° den Winkel zu 60° abrundest und die 32° zu 30 °.

Jetzt hast du die Breite/Höhe (120) und die Länge (Gegenkathete)

Fläche (Rechteck) berechnen durch Zwei dividieren.


Das einfachste das mir dazu einfiele.

[V.K.B.]

[Günter Wendt]

@VKB

Es ist eben meine Art mit solchen Aufgaben so damit umzugehen.
Meine Frau bringe ich mit meinen „Überschlags-Näherungs“ Lösungen oft zur Weißglut. Ich suche immer den einfachen Weg.

Ich entschuldige mich für meine Schlampige Rechnerei.
Dann habe ich deine Intention nicht kapiert. Ich dachte du willst einen einfachen Weg, obwohl du es genau haben möchtest.
Sorry.

[V.K.B.]

[wohe]

Hi V.K.B.,
ich habe gegrübelt wie ein Weltmeister
(... durchaus studiert, mit heißem Bemühn
Da steh ich nun, ich armer Tor
und bin so klug als wie zuvor),
aber keine Chance, mit ganzen Zahlen im dreistelligen Bereich und den sin-, cos-, tan-Angaben den Flächeninhalt rauszukriegen.
Erbarme Dich mal und klär uns auf.
Ich bin gespannt.
MfG Wohe

[V.K.B.]

[wohe]

@V.K.B.
Danke, so ging es ebenfalls im Kopf, aber ob die verbrauchte Hirnleistung geringer ist, kann ich nicht sagen. Auf den Schritt mit der Aufteilung der Summanden wäre ich nicht gekommen, aber jedenfalls sind die verwendeten Zahlen kleiner --> schon mal besser.

[V.K.B.]

Okay, war Zeit genug, ich löse es dann mal ganz auf (und erkläre es so ausführlich, dass es hoffentlich jeder versteht):

Es geht darum, den Flächinhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, was im Grund ganz einfach ist. Ein Dreieck ist ein halbes Viereck, dafür braucht man Breite mal Höhe, und beim Dreieck dann Breite mal Höhe geteilt durch zwei. Unser Dreieck steht hier schon so passend, dass die linke Seite gleichzeitig auch die Höhe (120 cm) ist. Was fehlt ist die Breite, die Seite unten, und die kann man mit mittels Trigonometrie berechnen. Wer den Begriff "Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck" mal mit dem Wort "Sohcahtoa" substituiert hat (was ich Schülern immer empfehle) weiß sofort, dafür braucht man den Tangens (toa= Tangens ist opposite durch adjacent). Umgestellt muss man also die anliegende Kathete links (die Höhe) mit dem Tangens des Winkels malnehmen, um die gegenüberliegende Kathete unten (die Breite des Dreiecks) zu erhalten.

So weit so einfach, jetzt zum Rechenweg. Wir rechnen die Gegenkathete noch nicht aus, sondern belassen ihre Länge erstmal bei 120 mal Tangens 68 und stellen damit die Formel für den Flächeninhalt auf, also 120 mal 120 mal 2,48 geteilt durch zwei. Durch zwei teilen ist nichts anderes als mit ½ malnehmen, Faktoren darf man beliebig tauschen, und wir rechnen in folgender Reihenfolge:

120 · 120 · ½ · 2,48

Für 120 mal 120 kann man auch 12 mal 12 rechnen und die beiden Nullen hinten anhängen. Wer mal in der Grundschule die Quadratzahlen bis 15 oder 20 auswendig lernen musste, weiß das Ergebnis sofort, und wenn nicht, rechnet man 10 mal 12 (=120) plus 2 mal 12 (=24) was wohl auch niemanden überfordern dürfte. So oder so, wir sind bei 144. Die beiden Nullen hängen wir nicht hinten an, sondern behalten im Hinterkopf, dass wir jetzt mit Hundertern als Einheit rechnen und nicht mit Einern (14400 sind 144 Hunderter), das hält die Zahlen kleiner, mit denen man im Kopf arbeiten muss.
Wir teilen die 144 jetzt durch zwei, also einfach die Hälfte, und die Hälfte von 144 ist 72 (14 durch 2 gleich 7, also 140 durch zwei gleich 70 und vier durch 2 gleich 2, also zusammen 72, wenn man das auch kleinschrittig braucht).
Wir haben jetzt 72 im Kopf und müssen diese mit 2,48 malnehmen, dazu bedienen wir uns eines Rechentricks, um das einfacher zu machen und nicht mit Kommazahlen rechnen zu müssen. 2,48 sind fast 2½, da fehlen nur 0,02 (oder zwei Hundertstel, wenn man lieber mit Brüchen rechnet). Wir nehmen erstmal mit 2,5 mal, also das Doppelte plus die Hälfte. Das doppelte von 72 ist wieder 144 und die Hälfte von 72 ist 36, zusammen also 180.
Jetzt müssen wir nur noch um die zwei Hunderstel korrigieren, um die unser Ergebnis zu groß ist, also zwei Hunderstel von 72 (Hundertern, wir erinnern uns) abziehen. Oder einfacher erst mal ein Hundertstel ausrechnen, verdoppeln und dann das abziehen. Hunderstel auszurechnen ist jetzt ganz einfach und da brauchen wir gar keine Kommazahlen, da wir ja mit Hundertern gerechnet haben. Ein Hundertstel von 72 (Hundertern) ist also immer noch 72 (nur jetzt eben Einer und nicht mehr Hunderter). Verdoppelt also wieder 144.
Wir müssen jetzt nur noch die 144 (Einer) von unserm gemerkten Ergebnis 180 (Hunderter) abziehen, und auch das machen wir uns besonders einfach, denn wir runden die 144 erst mal auf volle Hunderter zu 200 auf. Also 2 (Hunderter), die wir von unserer 180 abziehen müssen, und erhalten 178.
Jetzt müssen wir nur noch wieder das draufrechnen, was wir zu viel abgezogen haben. Von 144 fehlen 56 bis zu 200, und da unsere 178 Hunderter sind, können wir die 56 als Einer einfach hinten dranhängen. Wir haben jetzt also die Zahlenkette 178 | 56 im Kopf, die müssen wir uns nur noch zusammenhängend als 17856 vorstellen und als Siebzehntausendachthundertsechsundfünfzig aussprechen, um Abdul das richtige Ergebnis zu präsentieren. Frau Pottbaros (Anagramm vom "Bootstrap", weil es sich bei der Geschichte um eine Art "Bootstrap by proxy"-Paradoxon handelt) darf sich jetzt also wieder anziehen und nach Hause gehen. Sofern sie die Fesseln aufkriegt oder jemanden Hilfsbereites in der Zuschauermenge findet, denn von "befreien" hat Abdul ja nichts gesagt.

Hier nochmal die Rechenschritte in Kurzform, damit sich jeder überzeugen kann, dass man wirklich nur ganze natürliche maximal dreistellige Zahlen im Kopf braucht:

12 · 12 = 144
144 : 2 = 72
72 + 72 + 36 = 180
180 - 2 = 178 (Hunderter fertig)

72 · 2 = 144
200 - 144 = 56 (als Einer hinten dranhängen)

17856 ist das Gesamtergebnis