Die Ermittlung der Sieger

[Maria]

Höhere Mathematik – das alpha-getrimmte Mittel

Boro hat für die Ermittlung einer einzigen charakteristischen Zahl aus den ganzen Bewertungen für einen beliebigen Text das alpha-getrimmte Mittel gewählt. Das wird dir jetzt wahrscheinlich auch nicht so weiterhelfen.

Ok, nehmen wir an, wir haben als Bewertungen zweimal 6 Federn, einmal 7 und einmal 8.
Der Mittelwert (normalerweise die zuverlässigste Charakterisierung) ist Summe_der_Bewertungen geteilt durch Anzahl_der_Bewertungen, also 27 / 4 = 6,75

Nun betritt ein missgelaunter Zeitgenosse die Bühne (oder auch nur jemand mit radikal abweichendem Geschmack) und gibt nur eine Feder. Wegen der geringen Anzahl von Bewertungen (alles unter 10 gilt in der Statistik als extrem klein) hat diese eine Bewertung einen überproportionalen Einfluss auf das Endergebnis, nämlich, 28 / 5 = 5,6. Die endgültige Bewertung liegt unter allen Einzelbewertungen mit Ausnahme der unseres missgelaunten Zeitgenossen.

Nun, ruft jemand mit Statistikkenntnissen, das ist doch wohlbekannt, dass der Mittelwert nicht gut ist wenn n (Anzahl der Beobachtungen = Bewertungen) klein ist. Da, so der Statistikenner, nimmt man den Median.
Der Median ist der Einzel-Wert, den man bekommt, wenn man alle Bewertungen der Größe nach sortiert, also
1, 6, 6, 7, 8
in unserem Beispiel und den nimmt, der sich in der Mitte befindet, also die 6. Wunderbar. Man schaut noch in der statistischen Fachliteratur nach und in der Tat, es wurde gezeigt, dass der Median die beste Kennziffer ist bei kleinem n. Alle sind glücklich und tanzen um ein Freudenfeuer.

Dann schaut Boro sich die Wettbewerbsergebnisse an und natürlich finden sich jede Menge Texte auf dem selben Rang. Bei allen bisherigen Wettbewerben hätte es eine ganze Schar Gewinnertexte mit einer einheitlichen Endbewertung von 7,0 oder 6,0 gegeben. Und auf den Plätzen darunter hätten sich noch mehr Texte auf der gleichen Ebene (5,0 4,0 3,0 ...) gedrängt. Was tun?

Eine der Alternativen ist das alpha-getrimmte Mittel. Die Idee ist, wir gehen zurück zum Mittelwert, aber wir schließen die Extreme aus. Und zwar unabhängig, wie extrem sie sind, und von beiden Seiten.
Wir ordnen die Bewertungen wieder der Größe nach an
1, 6, 6, 7, 8
und nehmen die äußeren Werte weg. Wie viele verrät uns das alpha, dass wir vorher festgelegt haben. Sagen wir hier im Beispiel 20%, dann fällt genau ein Wert weg und wir kriegen
6 6 7
Mittelwert davon ist 19 / 3 = 6,3

Also wenn das nicht fair ist ...


Zusätzliche Informationen:

(a) Das alpha-getrimmte Mittel ist für den FFF auf alpha = 15% eingestellt.

(b) Jede Bewertung hat einen Einfluss auf das Endergebnis. Auch die Extrembewertungen, nur haben die keinen überproportional großen.

(c) Es ist nicht sinnvoll, eine tiefere oder höhere Bewertung abzugeben, damit »die Bewertung nicht abgeschnitten« würde. Kehren wir noch einmal zu dem obigen Zahlenbeispiel zurück mit den Bewertungen:
1, 6, 6, 7, 8
Wenn ein weiterer Bewerter nun 9 Federn vergibt haben wir
1, 6, 6, 7, 8, 9
und nach Anwendung der Trimmung verbleiben
6, 6, 7, 8
was zu einem finalen Wert von  27 / 4 = 6,75 führt, also deutlich höher als das vorige 6,3.
Wenn der Benutzer stattdessen 7 Federn vergeben würde, erhielten wir
1, 6, 6, 7, 7, 8
und nach dem Abschneiden
6, 6, 7, 7
was den endgültigen Wert von 26 / 4 = 6,5 ergibt. Wie erwartet und sinnvoll, hat die tiefere Bewertung zu einer relativen Erniedrigung des Endwertes geführt, obwohl sie nicht wie die vorige 9 weggefallen ist.